ペンローズ・タイル

2009-04-04

M.C.エッシャーとロジャー・ペンローズ
ペンローズ・タイルとは
ペンローズ・タイルの材料とつくり方
参考サイト
関連項目

M.C.エッシャーとロジャー・ペンローズ

M.C.エッシャー（Maurits Cornelis Escher）はオランダの版画家です。『滝』や『上昇と下降』などの不可能物体の版画で有名ですね。私は、『滝』と同じ構造の三角形や、『上昇と下降』の階段を作ったことがあります。この『滝』の構造を持った三角形（上の写真）を「不可能な三角形」といい、これはイギリスの理論物理学者ロジャー・ペンローズ（Sir Roger Penrose）によって考えられました。エッシャーはペンローズの「不可能な三角形」から『滝』のアイデアを得たのです。

photo by Pieter Musterd @Flickr

不可能物体のほかに、エッシャーは平面充填に関する作品（上の写真）も多数発表しています。M.C.Escher official website のPicture Gallery から、さまざまな作品を見ることができます。エッシャーは、鉱物学者や数学者、物理学者との交流からそれらの作品を作り出していったのです。

ペンローズ・タイルとは

ペンローズタイルは、ペンローズが考案した平面充填可能な2種類の平行四辺形による図形です。エッシャーによる平面充填の作品も、そのデザインの作成過程では、ペンローズタイルのような幾何学的なものを元にしているようです。
上左の写真は72°と108°の角を持つ平行四辺形（赤）と、36°と144°の角を持つ平行四辺形（青）の、すべての辺の長さが等しい2種類の平行四辺形からなります。
上右の写真はペンローズがデザインしたものではありませんが、同様に平面充填可能なタイルです。こちらは正方形（赤）、正三角形（緑）、30°と150°の角を持つ平行四辺形（青）の、3種類のタイルで構成されています。こちらも、各タイルのすべての辺の長さは等しくなっています。

これらのタイルは、隙間なくきれいに並べることで平面を埋め尽くすことができますが、その構造は周期性を持ちません。純粋に数学上の存在だと考えられていたのですが、後に、同じ構造を持つ金属（準結晶）が発見されたそうです。準結晶は、周期性がないので「へき開」（ぱかっと割れる性質）が起こりにくくて粘り強いという特徴を持っていたり、電気抵抗が非常に大きいなど、金属としては不思議な性質を持つのだそうです。