あなたはどのドアを選ぶ?



2006-5-7

3囚人問題

3人の囚人A、B、Cのうち1人は恩赦で釈放され、残りの2人は処刑されることになっている。誰が恩赦になるか知っている看守にAが聞いた。
「B、Cのうち少なくとも1人は処刑されるのだから、処刑される1人の名前を教えてくれないか? それを教えてくれても私についての情報を教えたことにはならないだろう?」
看守はAの言い分に納得し、「Bは処刑される」と答えた。それを聞いたAは、恩赦は自分かCのどちらかだから、自分が恩赦になる確率は1/3から1/2に増えた、と喜んだ。実際には、Aの釈放される確率は?

これが「3囚人問題」と言われる問題です。条件付の確率を求める問題なのですが、理論的な結果が、直感的な判断に反しているように見える奇妙な問題です。この問題の答えを求める前に、もう少し取り組みやすい問題からチャレンジしてみることにしましょう。


条件付確率の基本

一般に、事象Aの起こる確率をP(A)、事象Bが起こったときの事象Aの起こる確率をP(A|B)と表記します。ですから

   P(1の目が出る)=1/6
   P(1の目が出る|6が出ない細工がしてある)=1/5
   P(1の目が出る|奇数という情報有り)=1/3
   P(1の目が出る|偶数という情報有り)=0

事象Bが起こったとの条件下での事象Aの起こる確率の定義は

   P(A|B)=P(A and B)/P(B)と定義されます。

情報が得られる前の確率を事前確率と言います。つまりP(A)
情報が得られた後の確率を事後確率と言います。つまりP(A|B)
情報が得られることにより確率は更新されます。

ではこの練習の成果を生かして、次のタクシー問題に取り組んでみましょう。


タクシー問題

ある町では、緑のタクシーが85%、青のタクシーが15%の割合で走っている。この町でタクシーによるひき逃げ事件が起こり、目撃者は青いタクシーが轢いたと証言した。そこで目撃者の識別能力をテストしたところ、事件の状況では80%の確率で正解できるが20%の確率で間違えることが分かった。このとき青のタクシーが犯人である確率は?

事前確率はP(青のタクシーが真犯人)=0.15 です。
事後確率P(青のタクシーが真犯人|証言「青のタクシー」)を求めてみましょう。

答えはこちら


もう一度3囚人問題

3人の囚人A、B、Cのうち1人は恩赦で釈放され、残りの2人は処刑されることになっている。誰が恩赦になるか知っている看守にAが聞いた。
「B、Cのうち少なくとも1人は処刑されるのだから、処刑される1人の名前を教えてくれないか? それを教えてくれても私についての情報を教えたことにはならないだろう?」
看守はAの言い分に納得し、「Bは処刑される」と答えた。それを聞いたAは、恩赦は自分かCのどちらかだから、自分が恩赦になる確率は1/3から1/2に増えた、と喜んだ。実際には、Aの釈放される確率は?

P(Aが恩赦)=P(Bが恩赦)=P(Cが恩赦)=1/3として、P(Aが恩赦|看守が「Bは処刑」)を求めてみましょう。

答えはこちら


モンティ・ホールのジレンマ

Let's Make a Deal というアメリカのTV番組での場面。
回答者は、3つのドアのうち1つを選ぶように求められる。そのうち賞品があるのは1つのドアだけである。最初に回答者は1つのドアを選ぶ。正解を知っている司会者(モンティ・ホール氏)は、残り2つのドアのうち、不正解のドアを開けて見せる。そこで回答者は再びドアを選び直すことができる。
この場合、ドアを変えない方が良いのか(stick)、変えた方が良いのか(switch)、どちら?

stickした場合の正解する確率とswitchした場合の正解の確率を求めてみてください。

答えはこちら


感染者問題

ある国では、1000分の1の確率である病気に感染している。検査薬により、感染者は0.98の確率で陽性反応が出る。しかし非感染者でも0.01の確率で陽性反応が出てしまう。そこで、陽性反応が出たある人の感染している確率は?

わかった方は下のコメント欄に投稿していただけると嬉しいです。


スミス氏の息子問題

スミス氏には2人の子供がいる。街で偶然、男の子を連れたスミス氏に出会い、「これは私の息子です」と紹介された。もう1人の子供が男の子である確率はどれだけか? 解答A、解答Bのどちらが正しいか?

解答A 残りの子供の性別はこの子と無関係だから1/2
解答B 2人の子供は産まれる順に男男、男女、女男、女女の4通りのはず。今では女女以外の3通りに絞られたから1/3

いったいどちらの答えが正しいのでしょうか?


参考文献



  • 反応の出る人間の数 反応の出た中の感染者の数
    0.01097÷0.00098

    ・・・よし、私の頭は小学生並み。 -- k (2006-06-25 11:24:11)
  • P(A)=0.001 P(A')=0.999
    P(H|A)=0.98 P(H|A')=0.01

    ∴P(A|H)=(P(H|A)P(A))/(P(H|A)P(A)+P(H|A')P(A'))
    =0.0893
    ∴8.93%

    予想に反して激しく低いですね。。。
    疫病検査も信用できません; -- (´・ェ・`) (2006-07-23 16:25:10)
  • (´・ェ・`)さん、お見事、正解です。
    そうなんですよね。私もこの結果を知って愕然としました。

    もちろん医学の世界ではこのことを考えて対策を採っています。
    このような偽陽性の出やすい安価な検査は全員を対象にした検査でのみ実施し(一次検査)、偽陽性の出にくい高価な検査(二次検査)は、一次検査で陽性だった人にだけ行うというものです。

    大事なことは、一次検査で陽性になってしまった人に対するしっかりとしたフォローではないかと思います。
    -- yu-kubo (2006-07-23 21:42:57)
  • もう遅いのかもしれませんが。
    スミス氏の息子問題について疑問があります。

    解答A 残りの子供の性別はこの子と無関係だから1/2
    解答B 2人の子供は産まれる順に男男、男女、女男、女女の4通りのはず。今では女女以外の3通りに絞られたから1/3

    いったいどちらの答えが正しいのでしょうか?

    解答Aだと思いますが、理由が違うように思います。
    単に、子供が二人いて、少なくとも一人が男の子であった場合、もう一人が男の子である確率は1/3です。
    でも、問題文にスミス氏は、「男の子を連れて来ています。」とあります。
    ということは、男の子が二人いた場合には、兄弟のどちらかを選択して連れてきたことになります。
    男女(女男)であればいずれも一通りです。

    要するに
    男男(2通り)、男女(一通り)、女男(一通り)
    となります。

    このなかで、男の子を連れてくる場合の数は4通りあります。
    そのうち、男男(兄弟)から男の子を連れてくる場合の数は2通り。

    結局、もう一人が男の子である確率は2/(2+1+1)=1/2。
    となるように思うのですが。
    -- eggman (2008-08-05 15:43:27)
  • なるほど!
    そんな考え方もできますね。
    -- yu-kubo (2008-08-05 20:48:01)
  • 関係ないから2分の1!! -- スミス氏の息子 (2009-06-22 13:38:12)
  • スミス氏の息子問題について、
    スミス氏が連れ歩く子供の選び方が、


    (1)男女関係なくランダムな場合
    (年上、年下などの)どちらを連れ歩いているかがランダム
    その連れ歩いた子供が男だと分かった。
    連れ歩かなかった方は、それと独立に男女が決まっている。
    という考え方で、解答A。
    (↑↑↑の解答は、左右のどちらを連れているかを先にみると、これと同じになる。)


    (2)子供が男女だった時に、必ず男を選ぶ場合
    単に、少なくとも一人が男の子であるので、
    解答B


    となり、スミス氏がどのように子供を選ぶか、という条件が足りなく、
    正答を一つにはできないと思います。 -- 名無しさん (2012-06-17 08:47:28)
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最終更新:2012年06月17日 08:47
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