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地球を貫通するトンネル内の落下運動

仮に、地球の中心を通って真裏まで貫通するトンネルが掘れたら、中に落とした物体はどんな運動をするか？

地球の中心圧力は約400万気圧、中心温度は推定5,000～8,000Kもあるので、現実的に掘るのは不可能ですが、力学の思考実験として、面白い問題です。よく質問されるので、理論上の解を例示します。

仮定として

落下物体は質点とする。
地球の密度は球対称とする。
空気力は考えない。（トンネル内は真空）
トンネル壁面との摩擦もない。
自転の影響を無視。

つまり、地球内部で生じる重力のみで、自由落下した運動として考えます。

ちなみに、自転を考慮した場合、コリオリ力で壁面に押しつけられる力が発生します。壁面との摩擦ゼロを仮定してるので、直接的に上下の減速度は生じませんが、壁に対する垂直抗力から横方向速度をもち、それが遠心力を発生させて、間接的に上方向加速度が発生します。とはいえ、この遠心力が最大となる赤道上でも、重力の300分の1くらいの小ささです。

（１）運動方程式

時刻 $t$ における物体の位置を、地球中心から出発点へ向けて $x \left( t \right)$ とする。
この点の地球中心からの距離は $r=\left| x \right|$ である。
万有引力定数を $G = 6.67300 \times 10^{-11}$ m³/s²kg
地球の半径を $R = 6371$ km
とする。

球対称な質量分布の場では、質点に働く万有引力は、原点からの半径 $r$ の仮想的な球の内部にある質量が、すべて原点に集中している場合と等しくなる。 $r$ より外側の質量の影響は、ちょうどうち消し合う。

証明は省略しますが、積分するとそうなります。大学の初等物理では定番の例題なので、検算してみるとよいでしょう。ついでに、これもよくある質問ですが、地球の内部が球対称な空洞だったら、中心のみならず空洞全域で無重力になることがわかります。

中心から $r$ の点での密度を $\rho \left( r \right)$ とすると、 $r$ より内側の質量は、
$m \left( r \right) = \int_0^r {4\pi s^2 \rho \left( s \right)ds}$
であるので、その点での重力加速度は、
$g \left( r \right) = \frac{G m \left( r \right)}{r^2}$
これらを用いて、運動方程式は、
$\frac{d^2 x \left( t \right)}{dt^2} = - g \left( r \right), x \left( 0 \right) = R$
となる。

（２）地球の密度が均一の場合の解析解

地球の密度分布が均一の場合、簡単に解析解が得られる。

地球の質量 $M = m \left( R \right) = 5.974 \times 10^{24}$ kg
平均密度 ${\bar \rho} = \frac{3M}{4\pi R^3} = 5.515$ g/cm³

であるので、 $r$ より内側の質量は、
$m \left( r \right) = \frac{4 \pi r^3}{3} {\bar \rho} = M \left( \frac{r}{R} \right)^3$

$g\left( r \right) = \frac{G m \left( r \right)}{r^2} = \frac{G M r}{R^3}$

ここで、地表での重力加速度が、
$g_0 = g \left( R \right) = G M / R^2 = 9.8$ m/s²
であること使って、
$g\left( r \right) = g_0 r / R$

つまり、地球内部の重力加速度は、中心からの距離に比例することになり、運動方程式は、
$\frac{d^2 x}{dt^2} = - \frac{g_0}{R} x$
これは、単振動の運動方程式であるので、解は
$x \left( t \right) = R \cos \left( \sqrt{g_0 / R} t \right)$
となる。