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等面四面体ABCDにおける内接球面と傍接球面についての特殊性_2017_04_21(金)

以下[等面四面体ABCD]で考える。

[1].
以前の2017_01_30(月)のブログで、提示したように[等面四面体ABCD]の[内接球面I]と
各面との接点たちを考え、△BCD,△ACD,△ABD,△ABCとの接点をそれぞれ、
I^A,I^B,I^C,I^D とすると、そこの[定理2.3の系1]にあるように

[等面四面体ABCD]に関する真の重心座標はそれぞれ、

[事実1.1]

I^Aは、
(0,1/4[1+cosθ(B,A)],1/4[1+cosθ(C,A)],1/4[1+cosθ(D,A)] )
   ・・・(1.1.1)
I^Bは、
(1/4[1+cosθ(A,B)],0,1/4[1+cosθ(C,B)],1/4[1+cosθ(D,B)] )
   ・・・(1.1.2)
I^Cは、
(1/4[1+cosθ(A,C)],1/4[1+cosθ(B,C)],0,1/4[1+cosθ(D,C)] )
     ・・・(1.1.3)
I^Dは、
(1/4[1+cosθ(A,D)],1/4[1+cosθ(B,D)],1/4[1+cosθ(C,D)],0 )
     ・・・(1.1.4)
であった。
ここで、次の事実がある。

[事実1.2]
[等面四面体ABCD]では、
θ(D,A)=θ(B,C),θ(D,B)=θ(A,C),θ(D,C)=θ(A,B) ・・・(1.2)

であるので、[事実1.1]の(1.1.1)~(1.1.4)は、二面角θ(A,B),θ(B,C),θ(C,A)
だけを用いて、[なお一般の四面体ABCDにおいて勿論、θ(A,B)=θ(B,A)などである]

[命題1.3]
I^Aは、
(0,1/4[1+cosθ(B,A)],1/4[1+cosθ(C,A)],1/4[1+cosθ(B,C)] )
   ・・・(1.3.1)
I^Bは、
(1/4[1+cosθ(A,B)],0,1/4[1+cosθ(C,B)],1/4[1+cosθ(A,C)] )
   ・・・(1.3.2)
I^Cは、
(1/4[1+cosθ(A,C)],1/4[1+cosθ(B,C)],0,1/4[1+cosθ(A,B))] )
     ・・・(1.3.3)
I^Dは、
(1/4[1+cosθ(B,C)],1/4[1+cosθ(A,C)],1/4[1+cosθ(A,B)],0 )
     ・・・(1.3.4)
と書ける。
2017_03_14(火)にも述べたように、[等面四面体ABCD]では、次の[事実4.3]
があった。番号を付け直して、
[事実1.4]
 等面四面体ABCDについて、4つの面は合同な鋭角三角形である。△ABCにおいて
BC=a,CA=b,AB=c,また AD=BC=a,BD=AC=b,CD=AB=c ・・・(1.4.1)とし、
 x=((→AB),(→AC)),y=((→BA),(→BC)),z=((→CA),(→CB))・・・(1.4.2)
とおけば、x>0,y>0,z>0 ・・・(1.4.3)で 
x=((→AB),(→AC))=((→BA),(→BD))=((→CA),(→CD))=((→DB),(→DC)),
y=((→BA),(→BC))=((→AB),(→AD))=((→CB),(→CD))=((→DA),(→DC)),
z=((→CA),(→CB))=((→BC),(→BD))=((→AC),(→AD))=((→DA),(→DB))
・・・(1.4.4)であって、x+y=AB^2,x+z=AC^2,y+z=BC^2 ,
 4(S_D)^2=yz+xz+xy ・・・(1.4.5)となり、等面四面体ABCDの諸量は、
△ABCと同様に正の数 x=((→AB),(→AC)),y=((→BA),(→BC)),z=((→CA),(→CB))
で表せる。そして x=(b^2+c^2-a^2)/2,y=(c^2+a^2-b^2)/2,z=(a^2+b^2-c^2)/2
 ・・・(1.4.6) となることも昔のブログで述べた通りである。

このとき次の公式が成立する。(「本」の[命題12.25] )
cosθ(A,B)=cosθ(C,D)=[yz+xz-xy]/[yz+xz+xy] ・・・(1.4.7)
cosθ(A,C)=cosθ(B,D)=[yz-xz+xy]/[yz+xz+xy] ・・・(1.4.8)
cosθ(A,D)=cosθ(B,C)=[-yz+xz+xy]/[yz+xz+xy] ・・・(1.4.9) である。
(「本」の引用終わり)
が成り立つ。

このことを使う。
まず、(1.4.7)~(1.4.9)を用いれば、[命題1.3]は
1+cosθ(B,A)=1+[yz+xz-xy]/[yz+xz+xy]=2yz+2xz=2z(x+y)/[yz+xz+xy] などから、

[命題1.5]
I^Aは
(0,z(x+y)/[2(yz+xz+xy)],y(x+z)/[2(yz+xz+xy)],x(y+z)/[2(yz+xz+xy)] )
   ・・・(1.5.1)
I^Bは、
(z(x+y)/[2(yz+xz+xy)],0,x(y+z)/[2(yz+xz+xy)],y(x+z)/[2(yz+xz+xy)] )
   ・・・(1.5.2)
I^Cは、
(y(x+z)/[2(yz+xz+xy)],x(y+z)/[2(yz+xz+xy)] ,0,z(x+y)/[2(yz+xz+xy)] )
     ・・・(1.5.3)
I^Dは、
(x(y+z)/[2(yz+xz+xy)] ,y(x+z)/[2(yz+xz+xy)],z(x+y)/[2(yz+xz+xy)],0 )
     ・・・(1.5.4)
となる。

ところで、等面四面体ABCDにおいては、△DCB≡△CDA≡△BAD≡△ABC
である。[図1参照]
I^Dの四面体ABCDとしての真の重心座標は(1.5.4)であるが、I^D∈△ABCと見たときの
真の重心座標は、(x(y+z)/[2(yz+xz+xy)] ,y(x+z)/[2(yz+xz+xy)],z(x+y)/[2(yz+xz+xy)] )
     ・・・(1.6.1)となる。
⇔ (→P(I^D))=x(y+z)/[2(yz+xz+xy)](→PA)+y(x+z)/[2(yz+xz+xy)](→PB)
      + z(x+y)/[2(yz+xz+xy)](→PC) for ∀P∈E^n ( ただし△ABC⊆E^3⊆E^n )
     ・・・(1.6.2)
これは I^D∈△ABCと見たときの I^Dの「ベクトルによる重心座標表現」である。ところが、


2008_10_08(水)の「あれこれゆっくりと学びについて考える」のブログの(2.1.1)式に
示したように、△ABCの「外心O」の「ベクトルによる重心座標表現」は、
  (→PO)=1/[2detJ(2)][x(y+z)(→PA)+y(x+z)(→PB)+z(x+y)(→PC)]
       for ∀P∈E^n ( ただし△ABC⊆E^3⊆E^n )
   ・・・(1.6.3) である。ここで、
 detJ(2)=4S^2=yz+xz+xy ( ∵ (1.4.5) )だから
(1.6.2)と(1.6.3)の右辺は同じである。よって「ベクトルによる重心座標表現」の
一意性から「I^D=△ABCの外心O」となる。
同様にして、I^AはI^A∈△DCBとみたときの△DCB [順番注意!]の「外心」、
I^BはI^B∈△CDAとみたときの△CDA [順番注意!]の「外心」,
I^CはI^C∈△BADとみたときの△BAD [順番注意!]の「外心」 であることが分かった。これを
[命題1.6]として記しておこう。

[命題1.6]

等面四面体ABCDにおいて、△DCB≡△CDA≡△BAD≡△ABCであるが、
[内接球面I]と△DCB,△CDA,△BAD,△ABCのそれぞれとの接点I^A,I^B,I^C,I^Dは
△DCB,△CDA,△BAD,△ABCのそれぞれの「外心」になる。

[2].
さて、[等面四面体ABCD]の[傍接球面E^D]について考察しよう。
まず、2017_02_15(水)で述べたように、次の[命題1.6]があった。これを番号を付け替えて

[命題2.1]
[等面四面体ABCD]において、
傍接球面E_Dと△BCD,△ACD,△ABD,△ABC(を含む平面)との接点をそれぞれ、
(E_D)^A,(E_D)^B,(E_D)^C,(E_D)^D で表すとき、その四面体ABCDに関する
真の重心座標は次のようになる。

(E_D)^A:
( 0,(1+cosθ(B,A))/2,(1+cosθ(C,A))/2,-(1-cosθ(D,A))/2 )・・・(2.1.1)
(E_D)^B:
( (1+cosθ(A,B))/2,0,(1+cosθ(C,B))/2,-(1-cosθ(D,B))/2 )・・・(2.1.2)
(E_D)^C:
( (1+cosθ(A,C))/2,(1+cosθ(B,C))/2,0,-(1-cosθ(D,C))/2 )・・・(2.1.3)
(E_D)^D:
( (1-cosθ(A,D))/2, (1-cosθ(B,D))/2, (1-cosθ(C,D))/2,0 )・・・(2.1.4)

☆まず (E_D)^Dが△ABCの「垂心」になることを示す。

[命題2.2]

[等面四面体ABCD]については、[傍接球面E_D]
に対し(E_D)^Dは面△ABCの[垂心]になる。
「証明」
[事実1.2]を使う。[等面四面体ABCD]では、
θ(D,A)=θ(B,C),θ(D,B)=θ(A,C),θ(D,C)=θ(A,B) ・・・(1.2)より、

(E_D)^D:
( (1-cosθ(B,C))/2, (1-cosθ(A,C))/2, (1-cosθ(A,B))/2,0 )・・・(2.2.1)となる。
ここで、(1.4.7)~(1.4.9)を用いれば
1-cosθ(B,C)=1-[-yz+xz+xy]/[yz+xz+xy]=2yz より、
(1-cosθ(B,C))/2=yz/(yz+xz+xy),同様にして
(1-cosθ(A,C))/2=[1-(yz-xz+xy)/(yz+xz+xy)]/2=xz/(yz+xz+xy),
(1-cosθ(A,B))/2=[1-(yz+xz-xy)/(yz+xz+xy)]/2=xy/(yz+xz+xy)
よって 
(E_D)^D:の真の重心座標は (yz/(yz+xz+xy),xz/(yz+xz+xy),xy/(yz+xz+xy),0 )
となる。⇒ (E_D)^D∈△ABCと見たときの真の重心座標は、
 (yz/(yz+xz+xy),xz/(yz+xz+xy),xy/(yz+xz+xy) )
⇔ (→P *1 =yz/(yz+xz+xy)(→PA)+xz/(yz+xz+xy)(→PB)
         +xy/(yz+xz+xy)(→PC) for ∀P∈E^n ( ただし△ABC⊆E^3⊆E^n )
     ・・・(2.2.2) 
 これが (E_D)^Dの「ベクトルによる重心座標表現」
一方、△ABCの「垂心H」の「ベクトルによる重心座標表現」は、2008_08_31(日)
に提示したように、
  (→PH)=1/(4S^2)[yz(→PA)+xz(→PB)+xy(→PC)] for ∀P∈E^n 
 ( ただし△ABC⊆E^3⊆E^n )
     ・・・(2.2.3) 
であり、yz+xz+xy=4S^2 だから、(2.2.2)(2.2.3)の右辺は一致する。
ゆえに「ベクトルによる重心座標表現」の一意性から、(E_D)^D=「△ABCの垂心H」となる
ことが分かった。
([命題2.2]の「証明」終わり)

[命題2.3]
[等面四面体ABCD]において I^Bは線分 D((E_D)^B)の中点である。
即ち (E_D)^B は△CDAの「外心I^B」に関する、頂点Dの対称点である。

「証明」
前回_2017_03_14(火)の[命題1.2]で述べたように、一般の四面体ABCDにおいて、
I^Bは、D(E_D)^Bを (F-S_D):S_Dの比に内分する点である。[等面四面体ABCD]
において S_A=S_B=S_C=S_D=S とおけば 2F=S_A+S_B+S_C+S_D=4S ⇔ F=2S だから
(F-S_D):S_D=S:S=1:1 ゆえにI^Bは、D(E_D)^Bの中点である。
よって (E_D)^B は△CDAの「外心I^B」に関する、頂点Dの対称点になる。
(「証明」終わり)
同様にして次のことが分かる。

[命題2.4]
[等面四面体ABCD]において
(E_A)^B は△CDAの「外心I^B」に関する、頂点Aの対称点,
(E_C)^B は△CDAの「外心I^B」に関する、頂点Cの対称点,

☆ 何かの役に立つかも知れないので次の[命題2.5]を記しておく。

[命題2.5]
[等面四面体ABCD]において (E_D)^A,(E_D)^B,(E_D)^Cの真の重心座標を、x,y,z
で表しておこう。
(E_D)^A:
( 0,z(x+y)/(yz+xz+xy),y(x+z)/(yz+xz+xy),-yz/(yz+xz+xy) )・・・(2.4.1)
(E_D)^B:
,(,z(x+y)/(yz+xz+xy),0,x(y+z)/(yz+xz+xy),-xz/(yz+xz+xy) )・・・(2.4.2)
(E_D)^C:
( y(x+z)/(yz+xz+xy), x(y+z)/(yz+xz+xy), 0,-xy/(yz+xz+xy) )・・・(2.4.3)

(1.4.7)~(1.4.9)を用いるだけである。

[命題2.3][命題2.4]のように「「外心」に関する、頂点Aの対称点」に三角形の
「心」の名前がついていることをご存知の方はお教え下さるよう「コメント」をお願いします。
お待ち申しております。ただし「あれこれゆっくりと学びについて考える」では「ブログ設定」で
「コメントを受け付けるよう」に「変更・保存」しても、そのようにできない。それでこれは
Goo-blogの方に変更・保存が機能するようお願いしたいところである。
さて、
 次に[等面四面体ABCD]において頂点Dから△ABCに下した垂線の足 H_Dが△ABCのどんな
点になるか調べよう。2017_03_14(火)の[定理3.1]に記したことを番号を付け替えて
つぎの[命題]とする。

[命題2.6]
△ABC上にある見かけ上の4点 H_D,I^D,I_D,(E_D)^Dについて、もし2点が異なるなら、
見かけ上の4点 H_D,I^D,I_D,(E_D)^Dは全て異なり、異なる4点はこの順に
一直線上にあり、
(H_D)(I^D):(I^D)(I_D)=(2F-S_D):S_D・・・(2.6.1),
(I^D)(I_D):(I_D)(E_D)^D=(F-S_D):F ・・・(2.6.2)である。
これは「一般の四面体ABCD」について成り立つことであった。
[等面四面体ABCD]では、S_A=S_B=S_C=S_D だからこの共通な値をS とすれば、
(2.6.1),(2.6.2)はそれぞれ、次のようになる。
(H_D)(I^D):(I^D)(I_D)=(4S-S):S=3:1,(I^D)(I_D):(I_D)(E_D)^D=(2S-S):2S=1:2

よって
[定理2.7]
[等面四面体ABCD]では、△ABC上にある見かけ上、この順にある4点
 H_D,I^D,I_D,(E_D)^Dについて、

(H_D)(I^D):(I^D)(I_D)=3:1・・・(2.7.1),
(I^D)(I_D):(I_D)(E_D)^D=1:2・・・(2.7.2) よって特に

(H_D)(I^D):(I^D)((E_D)^D)=1:1・・・(2.7.3)

⇔ I^Dは(H_D)((E_D)^D) の中点・・・(2.7.4)

⇔ H_D は「△ABCの外心 I^D」に関する、「△ABCの垂心((E_D)^D」の対称点・・・(2.7.5)
となる。
「証明」
(2.7.3)を示す。(2.7.1),(2.7.2)により、
(H_D)(I^D):(I^D)((E_D)^D)=3:(1+2)=3:3=1:1
(「証明」終わり)
[定義2.8]
△ABCにおいて、「△ABCの外心 」に関する、「△ABCの垂心」の対称点
を de Longshamps 点(ド・ロンシャン点)という。

このことを使えば、[定理2.7]の(2.7.5)は次のようにいえる。
[定理2.8]
[等面四面体ABCD]においては、頂点Dから△ABCを含む平面へ下した垂線の足
H_Dは△ABCの「ド・ロンシャン点」になる。

ここで、△ABCの「ド・ロンシャン点」の真の重心座標を求めておこう。

[命題2.9]
△ABCの「ド・ロンシャン点」の真の重心座標は
( (-yz+xz+xy)/(yz+xz+xy),(yz-xz+xy)/(yz+xz+xy),(yz+xz-xy)/(yz+xz+xy) )
      ・・・(2.9.1)
「証明」
2017_03_14(火)の(3.1.9)で記したように、
一般の四面体ABCDにおいて、
H_Dは ( (S_A/S_D)cosθ(A,D),(S_B/S_D)cosθ(B,D),(S_C/S_D)cosθ(C,D),0 )
・・・(3.1.9)
よって[等面四面体ABCD]においてH_Dの真の重心座標は
 ( cosθ(A,D),cosθ(B,D),cosθ(C,D),0 )
このH_Dは[等面四面体ABCD]では、[定理2.8]より△ABCの「ド・ロンシャン点」である。
即ち( cosθ(A,D),cosθ(B,D),cosθ(C,D) ) が△ABCに関する、「ド・ロンシャン点」
の真の重心座標になる。
これに(1.4.7)~(1.4.9)の
cosθ(A,B)=cosθ(C,D)=[yz+xz-xy]/[yz+xz+xy] ・・・(1.4.7)
cosθ(A,C)=cosθ(B,D)=[yz-xz+xy]/[yz+xz+xy] ・・・(1.4.8)
cosθ(A,D)=cosθ(B,C)=[-yz+xz+xy]/[yz+xz+xy] ・・・(1.4.9)を使えば、
(2.9.1)がでる。
(「証明」終わり)

[定理2.10]
[等面四面体ABCD]において[頂点D]と[内心I]を結ぶ「直線DI」と△ABC
との交点I_Dの真の重心座標は (1/3,1/3,1/3,0) 
即ち「△ABCの重心」である。

「証明」
一般の四面体ABCDにおいて、I^Dの真の重心座標は
2017_03_14(火)の(3.1.11)式にあるように
( S_A/[2F-S_D],S_B/[2F-S_D],S_C/[2F-S_D],0 )・・・(3.1.11) 
これに[等面四面体ABCD]の性質 S_A=S_B=S_C=S_D=S とおけば 2F=4Sだから、
2F-S_D=3S よって 
S_A/[2F-S_D]=S_B/[2F-S_D]=S_C/[2F-S_D]=S/(3S)=1/3となるからである。

または、次のようにしても分かる。△ABC上にある見かけ上、この順にある4点
H_D,I^D,I_D,(E_D)^Dについて、[定理2.7]の(2.7.2)式
(I^D)(I_D):(I_D)(E_D)^D=1:2・・・(2.7.2)が成り立っている。
ここで、I^Dは△ABCの「外心」、(E_D)^Dは△ABCの「垂心」。よって (2.7.2)は
I_Dが「外心」と「垂心」を結ぶ見かけ上の線分をこの順に1:2の比に「内分」した
点であることを示している。ゆえに「オイラー線の関係」より、I_Dは「△ABCの
[重心]」となる。
(「証明」終わり)

[3].
以上により、[等面四面体ABCD]の△ABC上にある見かけ上、この順にある4点
H_D,I^D,I_D,(E_D)^D はそれぞれ△ABCの「ド・ロンシャン点」,「外心」,「重心」,
「垂心」であることが分かった。それに対し (E_D)^A,(E_D)^B,(E_D)^Cはそれぞれ、
△DCBの「[外心I^A]に関する」頂点Dの対称点,△CDAの「[外心I^B]に関する」
頂点Dの対称点,△BADの「[外心I^C]に関する」頂点Dの対称点であることが
分かった。
ただし、2017_03_14(火)の[定理3.1]の(イ)から[等面四面体ABCD]においても
[直線DI⊥△ABC]のときは、これら見かけ上の4点 H_D,I^D,I_D,(E_D)^Dは
△ABCの[重心]に一致してしまう。

ここで、2017_03_14(火)の[定理4.6]と同様にして、次の定理がでる。
[定理3.2]
[等面四面体ABCD]において 
 [直線DI]⊥△ABC ⇔ θ(A,D)=θ(B,D)=θ(C,D) 
  ⇔ この[等面四面体ABCD]は正四面体ABCD

ゆえに[等面四面体ABCD]において[直線DI⊥△ABC]となるのはこの
[等面四面体ABCD]が正四面体ABCDのときである。

即ち[等面四面体ABCD]において見かけ上の4点 H_D,I^D,I_D,(E_D)^Dが全て異なるのは、
この[等面四面体ABCD]が「正四面体ABCD」でないときに限ることが分かる。}