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地球を貫通するトンネル内の落下運動


仮に、地球の中心を通って真裏まで貫通するトンネルが掘れたら、中に落とした物体はどんな運動をするか?

地球の中心圧力は約400万気圧、中心温度は推定5,000~8,000Kもあるので、現実的に掘るのは不可能ですが、力学の思考実験として、面白い問題です。よく質問されるので、理論上の解を例示します。

仮定として
  • 落下物体は質点とする。
  • 地球の密度は球対称とする。
  • 空気力は考えない。(トンネル内は真空)
  • トンネル壁面との摩擦もない。
  • 自転の影響を無視。
つまり、地球内部で生じる重力のみで、自由落下した運動として考えます。

ちなみに、自転を考慮した場合、コリオリ力で壁面に押しつけられる力が発生します。壁面との摩擦ゼロを仮定してるので、直接的に上下の減速度は生じませんが、壁に対する垂直抗力から横方向速度をもち、それが遠心力を発生させて、間接的に上方向加速度が発生します。とはいえ、この遠心力が最大となる赤道上でも、重力の300分の1くらいの小ささです。

(1)運動方程式

時刻 t における物体の位置を、地球中心から出発点へ向けて x \left( t \right) とする。
この点の地球中心からの距離は r=\left| x \right| である。
万有引力定数を G = 6.67300 \times 10^{-11} m3/s2kg
地球の半径を R = 6371 km
とする。

球対称な質量分布の場では、質点に働く万有引力は、原点からの半径 r の仮想的な球の内部にある質量が、すべて原点に集中している場合と等しくなる。r より外側の質量の影響は、ちょうどうち消し合う。
証明は省略しますが、積分するとそうなります。大学の初等物理では定番の例題なので、検算してみるとよいでしょう。ついでに、これもよくある質問ですが、地球の内部が球対称な空洞だったら、中心のみならず空洞全域で無重力になることがわかります。

中心から r の点での密度を \rho \left( r \right) とすると、r より内側の質量は、
m \left( r \right) = \int_0^r {4\pi s^2 \rho \left( s \right)ds}
であるので、その点での重力加速度は、
g \left( r \right) = \frac{G m \left( r \right)}{r^2}
これらを用いて、運動方程式は、
\frac{d^2 x \left( t \right)}{dt^2} = - g \left( r \right), x \left( 0 \right) = R
となる。

(2)地球の密度が均一の場合の解析解

地球の密度分布が均一の場合、簡単に解析解が得られる。

地球の質量 M = m \left( R \right) = 5.974 \times 10^{24} kg
平均密度 {\bar \rho} = \frac{3M}{4\pi R^3} = 5.515 g/cm3

であるので、r より内側の質量は、
m \left( r \right) = \frac{4 \pi r^3}{3} {\bar \rho} = M \left( \frac{r}{R} \right)^3

g\left( r \right) = \frac{G m \left( r \right)}{r^2} = \frac{G M r}{R^3}

ここで、地表での重力加速度が、
g_0 = g \left( R \right) = G M / R^2 = 9.8 m/s2
であること使って、
g\left( r \right) = g_0 r / R

つまり、地球内部の重力加速度は、中心からの距離に比例することになり、運動方程式は、
\frac{d^2 x}{dt^2} = - \frac{g_0}{R} x
これは、単振動の運動方程式であるので、解は
x \left( t \right) = R \cos \left( \sqrt{g_0 / R} t \right)
となる。

この単振動の周期は、
P = 2 \pi \sqrt{R / g_0} = 5061秒(84.34分)
これは高度0の人工衛星の軌道周期と等しくなる。
約42分後に地球の反対側のトンネル出口にちょっと顔を出し、約84分後に入口に戻ってくる。

最高速度は地球の中心を通るときで、
V_{max} = \sqrt{ g_0 R} = 7.9 km/s
これは第一宇宙速度と等しくなる。

(3)地球内部の密度分布モデル(PREM)を使用した数値解

実際には地球の密度分布は均一ではなく、中心ほど高密度になっている。
そこで標準地球モデル(PREM)を用いて、計算してみる。
PREMが数値表のモデルであるので、m, g, x は数値積分で求める。

  • PREMによる地球内部の密度分布

この密度分布を用いて計算した。以下、
赤線はPREMの密度分布を用いた数値解
青線は密度均一モデルの解析解

  • ある半径以内の質量
右上(地表)で5.974×1024 kg

  • 地球内部の重力加速度
右上(地表)で9.8 m/s2

  • 位置の変化
周期は4582秒(76.36分)。均一密度モデルより、早くなる。
グラフではよく分かりませんが、地表の近くでは、余弦波よりも、やや放物線に近い形状となります。

  • 速度変化
地球中心を通過するとき最大で、9.92km/sである。
密度の高い中心核に強く引かれるので、青の正弦波より、ピークが鋭く三角波に近い曲線となります。

(4)対蹠点

この問題で、よく「日本からアルゼンチンまで」とか「日本からブラジルまで」と表現されますが、日本の真裏(対蹠点)ってどこでしょう?日本から真っ直ぐ掘ったら、出口はブラジルやアルゼンチンではありません。南大西洋の中です。
う~ん、かろうじて南西諸島がブラジル南部にかかっています。



参考




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